定積分 $y = \int_{0}^{\pi} \sin(\frac{x}{3}) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $y = \int_{0}^{\pi} \sin(\frac{x}{3}) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sin(\frac{x}{3})$ の不定積分を計算します。$\frac{x}{3} = t$ と置換すると、$dx = 3dt$ となります。

$\int \sin(\frac{x}{3}) dx = \int \sin(t) \cdot 3 dt = 3 \int \sin(t) dt = -3\cos(t) + C = -3\cos(\frac{x}{3}) + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin(\frac{x}{3}) dx = \left[ -3\cos(\frac{x}{3}) \right]_0^{\pi}$

$= -3\cos(\frac{\pi}{3}) - (-3\cos(\frac{0}{3})) = -3\cos(\frac{\pi}{3}) + 3\cos(0)$

$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ であり、$\cos(0) = 1$ であるから、

$= -3(\frac{1}{2}) + 3(1) = -\frac{3}{2} + 3 = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$