与えられた積分 $\int (3x+1)^2 dx$ を計算します。

## (1) の問題

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (3x+1)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分を計算するために、まず $(3x+1)^2$ を展開します。

$(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$

次に、展開された式を積分します。

$\int (9x^2 + 6x + 1) dx = \int 9x^2 dx + \int 6x dx + \int 1 dx$

各項を積分します。

$\int 9x^2 dx = 9 \int x^2 dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} = 3x^3$

$\int 6x dx = 6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int 1 dx = x$

したがって、

$\int (3x+1)^2 dx = 3x^3 + 3x^2 + x + C$ （Cは積分定数）

3. 最終的な答え

$3x^3 + 3x^2 + x + C$

## (2) の問題

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{dx}{(2x+3)^3}$ を計算します。

2. 解き方の手順

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とおくと、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ です。

したがって、

$\int \frac{dx}{(2x+3)^3} = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du$

積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C$

$u$ を $2x+3$ に戻します。

$-\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{4(2x+3)^2} + C$

## (3) の問題

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sqrt{x-1} dx$ を計算します。与えられた式から、$\int x\sqrt{x-1} dx = \int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}) dx$ が成り立つことがわかります。

2. 解き方の手順

与えられた式を積分します。

$\int ((x-1)\sqrt{x-1} + \sqrt{x-1}) dx = \int (x-1)^{3/2} dx + \int (x-1)^{1/2} dx$

ここで、$u = x-1$ とおくと、$du = dx$ です。したがって、

$\int (x-1)^{3/2} dx = \int u^{3/2} du = \frac{u^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + C_1$

$\int (x-1)^{1/2} dx = \int u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C_2 = \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C_2$

したがって、

$\int x\sqrt{x-1} dx = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$ (ただし、$C = C_1 + C_2$)

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$