(1) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ をマクローリンの定理（$n=2$）を用いて展開した式を求める。 (2) (1)で求めた式を用いて $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求める。 (3) (2)で求めた近似値の誤差の限界について調べる。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \log(1+x)$ をマクローリンの定理（$n=2$）を用いて展開した式を求める。

(2) (1)で求めた式を用いて $\log(1.02)$ の近似値を小数第4位まで求める。

(3) (2)で求めた近似値の誤差の限界について調べる。

2. 解き方の手順

(1) マクローリンの定理は、$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ で与えられます。

まず、$f(x) = \log(1+x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{1+x}$

$f''(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$

次に、これらの導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(0) = -\frac{1}{(1+0)^2} = -1$

したがって、$n=2$ のマクローリン展開は次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = x - \frac{x^2}{2}$

(2) (1) で求めた式に $x = 0.02$ を代入して $\log(1.02)$ の近似値を求めます。

$\log(1.02) \approx 0.02 - \frac{(0.02)^2}{2} = 0.02 - \frac{0.0004}{2} = 0.02 - 0.0002 = 0.0198$

(3) 誤差の限界を調べるには、剰余項を評価する必要があります。$n=2$ の場合、ラグランジュの剰余項は次のように表されます。

$R_2(x) = \frac{f'''(c)}{3!}x^3 = \frac{2}{6(1+c)^3}x^3 = \frac{1}{3(1+c)^3}x^3$

ここで、$0 < c < x$ です。 $x = 0.02$ の場合、$0 < c < 0.02$ です。

したがって、誤差は次のようになります。

$|R_2(0.02)| = \left| \frac{1}{3(1+c)^3}(0.02)^3 \right| = \frac{(0.02)^3}{3(1+c)^3}$

$c$ の範囲を考えると、$1 < 1+c < 1.02$ です。 したがって、$1 < (1+c)^3 < (1.02)^3 \approx 1.061208$ となります。

したがって、

$\frac{(0.02)^3}{3(1.02)^3} < |R_2(0.02)| < \frac{(0.02)^3}{3}$

$\frac{(0.02)^3}{3(1.02)^3} \approx \frac{0.000008}{3 \times 1.061208} \approx 0.00000251$

$\frac{(0.02)^3}{3} = \frac{0.000008}{3} \approx 0.00000267$

したがって、誤差の限界は $0 < |R_2(0.02)| < 0.00000267$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx x - \frac{x^2}{2}$

(2) $\log(1.02) \approx 0.0198$

(3) 誤差の限界：$0 < |R_2(0.02)| < 0.00000267$