$\triangle ABC$ において、$AB = \sqrt{2}$、$AC = 5\sqrt{2}$、$\angle BAC = 60^\circ$ であるとき、以下の値を求める問題です。 (ア) $BC$ の長さ (イ) $\triangle ABC$ の面積 (ウ) $\triangle ABC$ の内接円の半径

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = \sqrt{2}$、$AC = 5\sqrt{2}$、$\angle BAC = 60^\circ$ であるとき、以下の値を求める問題です。

(ア) $BC$ の長さ

(イ) $\triangle ABC$ の面積

(ウ) $\triangle ABC$ の内接円の半径

2. 解き方の手順

(ア) $BC$ の長さを求める

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 2 + 50 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 52 - 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2$

$BC^2 = 52 - 10 = 42$

$BC = \sqrt{42}$

(イ) $\triangle ABC$ の面積を求める

$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{\angle BAC}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \sin{60^\circ}$

$S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

(ウ) $\triangle ABC$ の内接円の半径を求める

内接円の半径を $r$ とすると、$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$ で表される。

$\frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} r (\sqrt{2} + \sqrt{42} + 5\sqrt{2})$

$\frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} r (6\sqrt{2} + \sqrt{42})$

$5\sqrt{3} = r (6\sqrt{2} + \sqrt{42})$

$r = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{42}}$

$r = \frac{5\sqrt{3}}{6\sqrt{2} + \sqrt{42}} \cdot \frac{6\sqrt{2} - \sqrt{42}}{6\sqrt{2} - \sqrt{42}}$

$r = \frac{5\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{(6\sqrt{2})^2 - (\sqrt{42})^2}$

$r = \frac{5\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{72 - 42}$

$r = \frac{5\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{30}$

$r = \frac{\sqrt{3}(6\sqrt{2} - \sqrt{42})}{6}$

$r = \frac{6\sqrt{6} - \sqrt{126}}{6} = \frac{6\sqrt{6} - 3\sqrt{14}}{6}$

$r = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

$BC = \sqrt{42}$

$S = \frac{5\sqrt{3}}{2}$

$r = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{14}}{2}$