関数 $x^n$ の微分が $nx^{n-1}$ であることを、二項定理を用いて証明してください。

1. 問題の内容

関数 $x^n$ の微分が $nx^{n-1}$ であることを、二項定理を用いて証明してください。

2. 解き方の手順

微分は、定義より

$$(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$

で与えられます。ここで、二項定理を用いて $(x+h)^n$ を展開します。

$$(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k = x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n$$

この式を微分に代入すると

$$(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n) - x^n}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \frac{\binom{n}{1} x^{n-1} h + \binom{n}{2} x^{n-2} h^2 + \dots + h^n}{h}$$

$$= \lim_{h \to 0} \left( \binom{n}{1} x^{n-1} + \binom{n}{2} x^{n-2} h + \dots + h^{n-1} \right)$$

$h \to 0$ の極限を取ると、 $h$ を含む項はすべて 0 になるので

$$(x^n)' = \binom{n}{1} x^{n-1}$$

二項係数 $\binom{n}{1}$ は $n$ に等しいので

$$(x^n)' = n x^{n-1}$$

が得られます。

3. 最終的な答え

$(x^n)' = nx^{n-1}$