関数 $x^n$ の導関数が $nx^{n-1}$ であることを、二項定理を用いて証明する。つまり、以下の式を証明する。 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

1. 問題の内容

関数 $x^n$ の導関数が $nx^{n-1}$ であることを、二項定理を用いて証明する。つまり、以下の式を証明する。

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$

2. 解き方の手順

導関数の定義に従い、二項定理を用いて証明する。

導関数の定義は以下の通り。

$\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

この定義に $f(x) = x^n$ を適用すると、

$\frac{d}{dx}(x^n) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$

二項定理を用いると、

$(x+h)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k}h^k = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$

したがって、

$(x+h)^n - x^n = nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$

$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1}$

ここで、$h \to 0$ の極限を取ると、第2項以降は全て0になる。

$\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = nx^{n-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$