与えられた3つの二次方程式を解く問題です。 (1) $x^2 + 3x + 1 = 0$ (2) $3x^2 - x - 1 = 0$ (3) $x^2 + 2x - 1 = 0$

代数学二次方程式解の公式根の計算
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた3つの二次方程式を解く問題です。
(1) x2+3x+1=0x^2 + 3x + 1 = 0
(2) 3x2x1=03x^2 - x - 1 = 0
(3) x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0

2. 解き方の手順

これらの二次方程式は因数分解できないため、解の公式を使用します。
二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の解の公式は、
x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} です。
(1) x2+3x+1=0x^2 + 3x + 1 = 0 の場合:
a=1a = 1, b=3b = 3, c=1c = 1
解の公式に代入すると、
x=3±3241121=3±942=3±52x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
(2) 3x2x1=03x^2 - x - 1 = 0 の場合:
a=3a = 3, b=1b = -1, c=1c = -1
解の公式に代入すると、
x=(1)±(1)243(1)23=1±1+126=1±136x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}
(3) x2+2x1=0x^2 + 2x - 1 = 0 の場合:
a=1a = 1, b=2b = 2, c=1c = -1
解の公式に代入すると、
x=2±2241(1)21=2±4+42=2±82=2±222=1±2x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}

3. 最終的な答え

(1) x=3±52x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}
(2) x=1±136x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}
(3) x=1±2x = -1 \pm \sqrt{2}

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