与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $6x^2 + xy - y^2$ (2) $x^2 + 2ax - 8a - 16$ (3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $6x^2 + xy - y^2$

(2) $x^2 + 2ax - 8a - 16$

(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 + xy - y^2$

これは $x$ についての2次式と見て因数分解を試みます。$6x^2 + xy - y^2$ を $(ax + by)(cx + dy)$ の形に因数分解することを考えます。

$ac = 6$、 $bd = -1$、 $ad + bc = 1$となるような $a, b, c, d$ を探します。

$a = 2, c = 3, b = -y, d = y$とすると、$2x - y$と$3x + y$が得られ、$(2x - y)(3x + y) = 6x^2 + 2xy - 3xy - y^2 = 6x^2 - xy - y^2$となります。

$a = 2, c = 3, b = y, d = -y$とすると、$2x + y$と$3x - y$が得られ、$(2x + y)(3x - y) = 6x^2 - 2xy + 3xy - y^2 = 6x^2 + xy - y^2$となります。

(2) $x^2 + 2ax - 8a - 16$

この式は $x$ に関する2次式ですが、$a$ も含まれています。そこで、定数項に注目して、$x^2 + 2ax - (8a + 16)$と変形します。

$x^2 + 2ax - 8(a + 2)$とできます。

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A + B)x + AB$の形になるように考えます。

$A + B = 2a$、 $AB = -8(a+2)$ となる $A$ と $B$ を探します。

$x^2 + 2ax - 8a - 16 = x^2 -16 + 2ax -8a = (x-4)(x+4) + 2a(x-4) = (x-4)(x+4 + 2a)$

(3) $x^2 - 2xy + y^2 - x + y - 2$

この式は $(x-y)^2 - (x - y) - 2$と変形できます。

ここで、$A = x - y$ とおくと、$A^2 - A - 2$となります。

これは $(A - 2)(A + 1)$ と因数分解できます。

$A$ を元に戻すと、$(x - y - 2)(x - y + 1)$となります。

3. 最終的な答え

(1) $(2x + y)(3x - y)$

(2) $(x-4)(x+2a+4)$

(3) $(x - y - 2)(x - y + 1)$