$p=-6$ のとき、$n=3$ となる $q$ の値を求める問題です。ただし、$a^2 - 6a + q = 0$ と $a^2 + qa - 6 = 0$ を満たす $a$ が存在する場合の他に、$n=3$ となる $q$ の値も考慮する必要があります。ここで、$a$ は実数です。また、記号「ウ」と「エ」に入る数字を求めます。

1. 問題の内容

$p=-6$ のとき、$n=3$ となる $q$ の値を求める問題です。ただし、$a^2 - 6a + q = 0$ と $a^2 + qa - 6 = 0$ を満たす $a$ が存在する場合の他に、$n=3$ となる $q$ の値も考慮する必要があります。ここで、$a$ は実数です。また、記号「ウ」と「エ」に入る数字を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 - 6a + q = 0$ と $a^2 + qa - 6 = 0$ から $a^2$ を消去します。

$a^2 - 6a + q = 0$

$a^2 + qa - 6 = 0$

上の式から下の式を引くと、

$-6a + q - (qa - 6) = 0$

$-6a + q - qa + 6 = 0$

$(q-6) + (6-q)a = 0$

$(6-q)(a-1) = 0$

したがって、$q=6$ または $a=1$。

$a=1$の場合、$a^2-6a+q=0$に代入して、$1^2-6(1)+q=0$より$1-6+q=0$なので、$q=5$となります。

$q=6$の場合、$a^2 - 6a + 6 = 0$ を満たす $a$ が存在するか確認します。判別式 $D = (-6)^2 - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 > 0$ より、実数解 $a$ が存在します。よって、$q=6$は条件を満たします。

$n=3$となる他の場合について考えます。$x^2 - 6x + q = 0$の解が3つの場合は、$x^2 - 6x + q = 0$が重解を持つ場合です。判別式$D = (-6)^2 - 4(1)(q) = 36 - 4q = 0$より、$4q = 36$なので、$q = 9$です。このとき、$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 = 0$より、$x=3$が重解として存在します。$n=1$となります。

したがって、$n=3$となるのは、$q=5$と$q=6$の時です。ただし、$q=5$と$q=6$の大小関係は、$5 < 6$です。

3. 最終的な答え

$q = 5, 6$

$5 < 6$