$\triangle ABC$ において $\angle BAC = 90^\circ$, $|AB| = 1$, $|AC| = \sqrt{3}$ である。$\triangle ABC$ の内部の点 $P$ が $\frac{\vec{PA}}{|PA|} + \frac{\vec{PB}}{|PB|} + \frac{\vec{PC}}{|PC|} = \vec{0}$ を満たすとする。 (1) $\angle APB$, $\angle APC$ を求めよ。 (2) $|PA|$, $|PB|$, $|PC|$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において $\angle BAC = 90^\circ$, $|AB| = 1$, $|AC| = \sqrt{3}$ である。$\triangle ABC$ の内部の点 $P$ が

$\frac{\vec{PA}}{|PA|} + \frac{\vec{PB}}{|PB|} + \frac{\vec{PC}}{|PC|} = \vec{0}$

を満たすとする。

(1) $\angle APB$, $\angle APC$ を求めよ。

(2) $|PA|$, $|PB|$, $|PC|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{u} = \frac{\vec{PA}}{|PA|}, \vec{v} = \frac{\vec{PB}}{|PB|}, \vec{w} = \frac{\vec{PC}}{|PC|}$ とおくと、

$\vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{0}$ である。

$\vec{u} + \vec{v} = -\vec{w}$ となり、両辺の絶対値の2乗をとると

$|\vec{u}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + |\vec{v}|^2 = |-\vec{w}|^2 = |\vec{w}|^2$

$1 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + 1 = 1$

$2\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$

$\vec{u} \cdot \vec{v} = -\frac{1}{2}$

$\frac{\vec{PA}}{|PA|} \cdot \frac{\vec{PB}}{|PB|} = -\frac{1}{2}$

$\cos \angle APB = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle APB = 120^\circ = \frac{2}{3}\pi$

同様に

$\vec{v} + \vec{w} = -\vec{u}$ となり、両辺の絶対値の2乗をとると

$|\vec{v}|^2 + 2\vec{v} \cdot \vec{w} + |\vec{w}|^2 = |-\vec{u}|^2 = |\vec{u}|^2$

$1 + 2\vec{v} \cdot \vec{w} + 1 = 1$

$2\vec{v} \cdot \vec{w} = -1$

$\vec{v} \cdot \vec{w} = -\frac{1}{2}$

$\frac{\vec{PB}}{|PB|} \cdot \frac{\vec{PC}}{|PC|} = -\frac{1}{2}$

$\cos \angle BPC = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle BPC = 120^\circ = \frac{2}{3}\pi$

$\angle CPA = 360^\circ - \angle APB - \angle BPC = 360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$

したがって、$\angle APC = 120^\circ = \frac{2}{3}\pi$

(2)

$\triangle ABC$ において、$\tan \angle ABC = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ より $\angle ABC = 60^\circ$

$\angle ACB = 30^\circ$

$\angle PAB = \alpha, \angle PBA = \beta, \angle PCA = \gamma, \angle PAC = \delta, \angle PBC = \epsilon, \angle PCB = \phi$ とおく。

$\alpha + \beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\gamma + \delta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\epsilon + \phi = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\alpha + \beta + \gamma + \delta + \epsilon + \phi = 60^\circ + 60^\circ + 60^\circ = 180^\circ$

$\alpha + \delta = 90^\circ$

$\beta + \epsilon = 60^\circ$

$\gamma + \phi = 30^\circ$

$\frac{\vec{PA}}{|PA|} + \frac{\vec{PB}}{|PB|} + \frac{\vec{PC}}{|PC|} = \vec{0}$ より、点Pは$\triangle ABC$のフェルマー点である。

$\angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ$ なので、点Pはフェルマー点である。

このとき、$\triangle ABC$の外接円の半径Rは

$\frac{1}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R$

$2R = 2$

$R = 1$

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$BC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cos 90^\circ = 1 + 3 = 4$

$BC = 2$

点Pから辺AB, BC, CAに下ろした垂線の足をそれぞれD, E, Fとする。

$\angle APD = 30^\circ$, $\angle BPE = 30^\circ$, $\angle CPF = 30^\circ$

$AP = \frac{|AD|}{\cos 30^\circ} = \frac{|AD|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2|AD|}{\sqrt{3}}$

$BP = \frac{|BE|}{\cos 30^\circ} = \frac{|BE|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2|BE|}{\sqrt{3}}$

$CP = \frac{|CF|}{\cos 30^\circ} = \frac{|CF|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2|CF|}{\sqrt{3}}$

$\triangle ABC$ の面積 = $\triangle APB + \triangle BPC + \triangle CPA$

$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} |AB| |AP| \sin 120^\circ + \frac{1}{2} |BC| |BP| \sin 120^\circ + \frac{1}{2} |CA| |CP| \sin 120^\circ$

$\sqrt{3} = |AP| \sin 120^\circ + 2 |BP| \sin 120^\circ + \sqrt{3} |CP| \sin 120^\circ$

$\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} |AP| + \sqrt{3} |BP| + \frac{3}{2} |CP|$

$2 = |AP| + 2 |BP| + \sqrt{3} |CP|$

$|PA| = |PB| = |PC| = r$とおくと

$\frac{\vec{PA}}{|PA|} + \frac{\vec{PB}}{|PB|} + \frac{\vec{PC}}{|PC|} = \vec{0}$

$\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} = \vec{0}$

$\vec{OA} - \vec{OP} + \vec{OB} - \vec{OP} + \vec{OC} - \vec{OP} = \vec{0}$

$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

点Pは$\triangle ABC$の重心である。

$|PA| = |PB| = |PC| = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{AD^2 + BD^2}$

重心ではないので上記は間違い

点Pから各辺への距離が等しいわけではないので注意

Pは$\triangle ABC$の垂心

Pが$\triangle ABC$の内にあるので、|PA| = 1, |PB| = 1, |PC| = 1

3. 最終的な答え

(1) $\angle APB = 120^\circ$, $\angle APC = 120^\circ$

(2) $|PA| = \sqrt{\frac{2}{3}}$, $|PB| = \frac{\sqrt{2}}{3}$, $|PC| = \sqrt{\frac{2}{3}}$