三角形の2辺の長さ $b=3$, $c=4$ とその間の角 $A = 60^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $a$ を余弦定理を用いて求めよ。

1. 問題の内容

三角形の2辺の長さ $b=3$, $c=4$ とその間の角 $A = 60^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $a$ を余弦定理を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理より、$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ が成り立つ。

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \times 3 \times 4 \times \cos 60^\circ$

$a^2 = 9 + 16 - 24 \times \frac{1}{2}$

$a^2 = 25 - 12$

$a^2 = 13$

$a > 0$ より、$a = \sqrt{13}$

3. 最終的な答え

$a = \sqrt{13}$