三角形の二辺の長さ $a = 1$, $c = \sqrt{3}$ とその間の角 $B = 30^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $b$ を余弦定理を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

三角形の二辺の長さ $a = 1$, $c = \sqrt{3}$ とその間の角 $B = 30^\circ$ が与えられたとき、残りの辺の長さ $b$ を余弦定理を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

余弦定理より、

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$

が成り立ちます。与えられた値を代入すると、

$b^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ$

$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$b^2 = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 4 - 3 = 1$

$b>0$ より、

$b = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

$b = 1$