$\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本的な関係式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を使います。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入すると、

$\left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\theta$は鈍角なので、$\cos \theta < 0$ です。したがって、

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

次に、$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ の関係式を使います。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)$

$\tan \theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$