問題は3つの小問から構成されています。 (1) $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解する問題。 (2) $x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$ の値を求める問題。 (3) 方程式 $|x+3| = 4x$ の解を、選択肢から選ぶ問題。

1. 問題の内容

問題は3つの小問から構成されています。

(1) $x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解する問題。

(2) $x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$ のとき、$x+y$, $xy$, $x^2 + y^2$ の値を求める問題。

(3) 方程式 $|x+3| = 4x$ の解を、選択肢から選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1) 因数分解

$x^2 + 5xy + 6y^2 + x - y - 12$ を因数分解します。

まず、$x$ の二次式として整理すると、

$x^2 + (5y+1)x + (6y^2 - y - 12)$

となります。

$6y^2 - y - 12$ を因数分解すると、$(2y-3)(3y+4)$ となります。

したがって、

$x^2 + (5y+1)x + (2y-3)(3y+4)$

$= (x + 2y - 3)(x + 3y + 4)$

よって、

$(x + 2y - 3)(x + 3y + 4)$

(2) 式の値

$x = \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}$, $y = \frac{3}{\sqrt{3} - \sqrt{6}}$

$x = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} - \sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{3-6} = \frac{3(\sqrt{3} - \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - \sqrt{3}$

$y = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{(\sqrt{3} - \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6})} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{3-6} = \frac{3(\sqrt{3} + \sqrt{6})}{-3} = -(\sqrt{3} + \sqrt{6}) = -\sqrt{3} - \sqrt{6}$

$x + y = (\sqrt{6} - \sqrt{3}) + (-\sqrt{3} - \sqrt{6}) = -2\sqrt{3}$

$xy = (\sqrt{6} - \sqrt{3})(-\sqrt{6} - \sqrt{3}) = -(\sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{6} + \sqrt{3}) = -(6 - 3) = -3$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-2\sqrt{3})^2 - 2(-3) = 4 \cdot 3 + 6 = 12 + 6 = 18$

(3) 絶対値方程式

$|x+3| = 4x$

場合分けを行います。

(i) $x+3 \geq 0$ つまり $x \geq -3$ のとき

$x+3 = 4x$

$3x = 3$

$x = 1$

これは $x \geq -3$ を満たすので解です。

(ii) $x+3 < 0$ つまり $x < -3$ のとき

$-(x+3) = 4x$

$-x - 3 = 4x$

$5x = -3$

$x = -\frac{3}{5}$

これは $x < -3$ を満たさないので解ではありません。

したがって、解は $x=1$ です。

3. 最終的な答え

(1) ア:2, イ:3, ウ:3, エ:4

(2) オカ:-2, キ:√3, クケ:-3, コサ:18

(3) シ:④