不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけ存在するように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 - (a+1)x + a < 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個だけ存在するように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を因数分解します。

$x^2 - (a+1)x + a < 0$

$(x-1)(x-a) < 0$

この不等式を満たす $x$ の範囲は、$1 < x < a$ または $a < x < 1$ となります。

(i) $a > 1$ のとき

$1 < x < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するためには、$2 < a \le 3$ である必要があります。

つまり、整数 $x$ は2と3でなければなりません。$x=2, 3$ より、$3 < a \le 4$ となることはありません。

$x = 2$ を満たすためには、$1 < x < a$ なので、 $1 < 2 < a$ より $a > 2$ である必要があります。

$x = 3$ を満たすためには、$1 < x < a$ なので、$1 < 3 < a$ より $a > 3$ である必要があります。

$x = 4$ を満たしてはいけないので、$a \le 4$ である必要があります。

よって、$3 < a \le 4$　の範囲では、$x=2,3$のみが不等式を満たします。

(ii) $a < 1$ のとき

$a < x < 1$ を満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するためには、$-1 \le a < 0$ である必要があります。

つまり、整数 $x$ は0と-1でなければなりません。

$x = 0$ を満たすためには、$a < x < 1$ なので、$a < 0 < 1$ より $a < 0$ である必要があります。

$x = -1$ を満たすためには、$a < x < 1$ なので、$a < -1 < 1$ より $a < -1$ である必要があります。

$x = -2$ を満たしてはいけないので、$a \ge -2$ である必要があります。

よって、$-2 \le a < -1$　の範囲では、$x=-1,0$のみが不等式を満たします。

3. 最終的な答え

$-2 \le a < -1$, $3 < a \le 4$