与えられた3x3行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求める問題です。

代数学線形代数行列逆行列行列式
2025/7/11

1. 問題の内容

与えられた3x3行列 A=(251340432)A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} の逆行列 A1A^{-1} を求める問題です。

2. 解き方の手順

逆行列を求めるには、以下の手順で行います。
(1) 行列式の計算:
まず、行列 AA の行列式 det(A)\det(A) を計算します。
det(A)=2(4203)5(3204)+1(3344)=2(8)5(6)+(916)=16307=21\det(A) = 2(4 \cdot 2 - 0 \cdot 3) - 5(3 \cdot 2 - 0 \cdot 4) + 1(3 \cdot 3 - 4 \cdot 4) = 2(8) - 5(6) + (9 - 16) = 16 - 30 - 7 = -21
det(A)=21\det(A) = -21
(2) 余因子行列の作成:
次に、行列 AA の余因子行列 CC を作成します。余因子 CijC_{ij} は、行列 AA から ii 行と jj 列を取り除いた行列の行列式に (1)i+j(-1)^{i+j} をかけたものです。
C11=(4203)=8C_{11} = (4 \cdot 2 - 0 \cdot 3) = 8
C12=(3204)=6C_{12} = -(3 \cdot 2 - 0 \cdot 4) = -6
C13=(3344)=916=7C_{13} = (3 \cdot 3 - 4 \cdot 4) = 9 - 16 = -7
C21=(5213)=(103)=7C_{21} = -(5 \cdot 2 - 1 \cdot 3) = -(10 - 3) = -7
C22=(2214)=44=0C_{22} = (2 \cdot 2 - 1 \cdot 4) = 4 - 4 = 0
C23=(2354)=(620)=14C_{23} = -(2 \cdot 3 - 5 \cdot 4) = -(6 - 20) = 14
C31=(5014)=4C_{31} = (5 \cdot 0 - 1 \cdot 4) = -4
C32=(2013)=(3)=3C_{32} = -(2 \cdot 0 - 1 \cdot 3) = -(-3) = 3
C33=(2453)=815=7C_{33} = (2 \cdot 4 - 5 \cdot 3) = 8 - 15 = -7
したがって、余因子行列 CC は次のようになります。
C=(8677014437)C = \begin{pmatrix} 8 & -6 & -7 \\ -7 & 0 & 14 \\ -4 & 3 & -7 \end{pmatrix}
(3) 転置行列 (余因子行列の転置):
余因子行列 CC の転置行列 CTC^T を計算します。
CT=(8746037147)C^T = \begin{pmatrix} 8 & -7 & -4 \\ -6 & 0 & 3 \\ -7 & 14 & -7 \end{pmatrix}
(4) 逆行列の計算:
逆行列 A1A^{-1} は、転置行列 CTC^T を行列式 det(A)\det(A) で割ったものです。
A1=1det(A)CT=121(8746037147)=(8/211/34/212/701/71/32/31/3)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-21} \begin{pmatrix} 8 & -7 & -4 \\ -6 & 0 & 3 \\ -7 & 14 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8/21 & 1/3 & 4/21 \\ 2/7 & 0 & -1/7 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

与えられた行列の逆行列は次のとおりです。
(8/211/34/212/701/71/32/31/3)\begin{pmatrix} -8/21 & 1/3 & 4/21 \\ 2/7 & 0 & -1/7 \\ 1/3 & -2/3 & 1/3 \end{pmatrix}

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