与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

## 問題 (a)

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

まず、固有値を求めるために特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。ここで、$\lambda$ は固有値であり、$I$ は単位行列です。

$A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{bmatrix}$

$|A - \lambda I| = (1-\lambda)(2-\lambda) - (2)(3) = \lambda^2 - 3\lambda + 2 - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$

この二次方程式を解くと、

$\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 4$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、固有ベクトルを求めます。固有値 $\lambda_1 = 4$ に対して、

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} 1-4 & 2 \\ 3 & 2-4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-3x + 2y = 0$ より $y = \frac{3}{2}x$ となります。$x = 2$ とすると $y = 3$ となり、固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ です。

次に、固有値 $\lambda_2 = -1$ に対して、

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} 1-(-1) & 2 \\ 3 & 2-(-1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + 2y = 0$ より $y = -x$ となります。$x = 1$ とすると $y = -1$ となり、固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

固有値: $\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = -1$

固有ベクトル: $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$