与えられた不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} (2x+3)$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} (2x+3)$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数が定義されるための条件を考慮します。

$x > 0$ かつ $2x+3 > 0$ が必要です。$2x+3 > 0$ より、$x > -\frac{3}{2}$ ですが、$x>0$があるので、$x>0$が条件となります。

次に、与えられた不等式を変形します。

$\log_{\frac{1}{3}} x^2 < \log_{\frac{1}{3}} (2x+3)$

底が $\frac{1}{3}$ であるため、$0 < \frac{1}{3} < 1$ なので、真数を比較する際に不等号の向きが変わります。

$x^2 > 2x+3$

$x^2 - 2x - 3 > 0$

$(x-3)(x+1) > 0$

この不等式を解くと、$x < -1$ または $x > 3$ となります。

しかし、$x > 0$ という条件があるので、$x < -1$ は不適です。

したがって、$x > 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x > 3$