与えられた行列Aが対角化可能かどうかを調べ、対角化可能であれば対角化せよ。行列は以下の4つです。 (a) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ (b) $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$ (c) $\begin{bmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ (d) $\begin{bmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列Aが対角化可能かどうかを調べ、対角化可能であれば対角化せよ。行列は以下の4つです。

(a) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

(d) $\begin{bmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列が対角化可能かどうかを調べるには、まず固有値を求め、各固有値に対する固有空間の次元(固有空間の基底の数)を求めます。

- n x n 行列の場合、n個の線形独立な固有ベクトルが存在すれば、その行列は対角化可能です。

- 重複度を持つ固有値の場合、その固有値に対応する固有空間の次元が、固有値の重複度に等しい場合にのみ、対角化可能です。

(a) 行列 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ です。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(2-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 4, \lambda_2 = -1$ です。固有値は異なっているので、対角化可能です。

$\lambda_1 = 4$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - 4I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow -3x + 2y = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x$. 固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ です。

$\lambda_2 = -1$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A + I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow y = -x$. 固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$ です。

$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ です。

$P^{-1} = -\frac{1}{5} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$

対角化は $P^{-1} A P = D$ で与えられます。

(b) 行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ です。

$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -3 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 3 = \lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0$

$\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

固有値は $\lambda_1 = 2+\sqrt{3}, \lambda_2 = 2-\sqrt{3}$ です。固有値は異なっているので、対角化可能です。

$\lambda_1 = 2+\sqrt{3}$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - (2+\sqrt{3})I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -\sqrt{3} & -3 \\ -1 & -\sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow -\sqrt{3}x - 3y = 0 \Rightarrow x = -\sqrt{3}y$. 固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

$\lambda_2 = 2-\sqrt{3}$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - (2-\sqrt{3})I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} \sqrt{3} & -3 \\ -1 & \sqrt{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow \sqrt{3}x - 3y = 0 \Rightarrow x = \sqrt{3}y$. 固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$ です。

$P = \begin{bmatrix} -\sqrt{3} & \sqrt{3} \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 2-\sqrt{3} \end{bmatrix}$ です。

$P^{-1} = \frac{1}{-2\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & -\sqrt{3} \\ -1 & -\sqrt{3} \end{bmatrix} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}$

対角化は $P^{-1} A P = D$ で与えられます。

(c) 行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ です。

$\begin{vmatrix} 3-\lambda & -2 & 4 \\ 0 & 1-\lambda & 3 \\ 0 & 0 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(1-\lambda)(-2-\lambda) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -2$ です。固有値は異なっているので、対角化可能です。

$\lambda_1 = 3$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - 3I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & -2 & 4 \\ 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow z=0, -2y=0 \Rightarrow y=0$. 固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

$\lambda_2 = 1$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow z=0, 2x-2y=0 \Rightarrow x=y$. 固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

$\lambda_3 = -2$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A + 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 5 & -2 & 4 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow y=-z, 5x+2z+4z=0 \Rightarrow 5x = -6z \Rightarrow x = -\frac{6}{5}z$. 固有ベクトルは $v_3 = \begin{bmatrix} -6 \\ -5 \\ 5 \end{bmatrix}$ です。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ です。

(d) 行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ です。

$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -2 & -2 \\ 0 & 1-\lambda & -1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(1-\lambda)(2-\lambda) = 0$

固有値は $\lambda_1 = 2$ (重複度 2), $\lambda_2 = 1$ です。

$\lambda_1 = 2$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - 2I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow -y - z = 0 \Rightarrow y = -z$.

固有空間の次元は 2 である必要があります。$x$ は任意であるため、固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ と $\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ で表されます。

$\lambda_2 = 1$ に対する固有ベクトルを求めます:

$(A - I)v = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \Rightarrow z = 0, x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$. 固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ です。

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ とすると、$P^{-1}AP = D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ です。

3. 最終的な答え

(a) 対角化可能。$P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

(b) 対角化可能。$P = \begin{bmatrix} -\sqrt{3} & \sqrt{3} \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 2-\sqrt{3} \end{bmatrix}$

(c) 対角化可能。$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -6 \\ 0 & 1 & -5 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$

(d) 対角化可能。$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, $D = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$