$k$ を定数として、以下の積分 $I$ と $J$ を求める問題です。 $I = \int e^x \sin kx \, dx$ $J = \int e^x \cos kx \, dx$

1. 問題の内容

$k$ を定数として、以下の積分 $I$ と $J$ を求める問題です。

$I = \int e^x \sin kx \, dx$

$J = \int e^x \cos kx \, dx$

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。

まず、$I$ の積分を計算します。

$I = \int e^x \sin kx \, dx$

$u = \sin kx$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = k \cos kx \, dx$, $v = e^x$ です。

部分積分より、

$I = e^x \sin kx - \int e^x k \cos kx \, dx = e^x \sin kx - k \int e^x \cos kx \, dx = e^x \sin kx - k J$

次に、$J$ の積分を計算します。

$J = \int e^x \cos kx \, dx$

$u = \cos kx$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = -k \sin kx \, dx$, $v = e^x$ です。

部分積分より、

$J = e^x \cos kx - \int e^x (-k \sin kx) \, dx = e^x \cos kx + k \int e^x \sin kx \, dx = e^x \cos kx + k I$

$I$ と $J$ の関係式が得られました。

$I = e^x \sin kx - kJ$

$J = e^x \cos kx + kI$

これらを連立させて、$I$ と $J$ を求めます。

$J = e^x \cos kx + kI$ を $I = e^x \sin kx - kJ$ に代入すると、

$I = e^x \sin kx - k(e^x \cos kx + kI) = e^x \sin kx - ke^x \cos kx - k^2 I$

$(1+k^2)I = e^x (\sin kx - k \cos kx)$

$I = \frac{e^x (\sin kx - k \cos kx)}{1+k^2} + C_1$

$I = e^x \sin kx - kJ$ を $J = e^x \cos kx + kI$ に代入すると、

$J = e^x \cos kx + k (\frac{e^x (\sin kx - k \cos kx)}{1+k^2}) = e^x \cos kx + \frac{ke^x \sin kx - k^2 e^x \cos kx}{1+k^2}$

$J = \frac{e^x ((1+k^2) \cos kx + k \sin kx - k^2 \cos kx)}{1+k^2} = \frac{e^x ( \cos kx + k \sin kx)}{1+k^2} + C_2$

3. 最終的な答え

$I = \frac{e^x (\sin kx - k \cos kx)}{1+k^2} + C_1$

$J = \frac{e^x (\cos kx + k \sin kx)}{1+k^2} + C_2$

ここで、$C_1$ と $C_2$ は積分定数です。