与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。 (1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$) (2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$) (3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

1. 問題の内容

与えられた二次関数の定義域における最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$ ($-1 \le x \le 5$)

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$ ($-4 \le x \le -1$)

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$ ($1 \le x \le 3$)

2. 解き方の手順

各二次関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。次に、定義域の端点と頂点のx座標が定義域に含まれる場合にその頂点のy座標を調べ、これらのy座標の値を比較して最大値と最小値を決定します。

(1) $y = x^2 - 4x + 3$

平方完成を行うと、$y = (x - 2)^2 - 1$ となります。頂点の座標は $(2, -1)$ です。定義域 $-1 \le x \le 5$ に頂点のx座標 $x = 2$ が含まれています。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^2 - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$

$x = 5$ のとき、$y = (5)^2 - 4(5) + 3 = 25 - 20 + 3 = 8$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

したがって、最大値は $8$、最小値は $-1$ です。

(2) $y = -3x^2 - 6x + 5$

平方完成を行うと、$y = -3(x + 1)^2 + 8$ となります。頂点の座標は $(-1, 8)$ です。定義域 $-4 \le x \le -1$ に頂点のx座標 $x = -1$ が含まれています。

$x = -4$ のとき、$y = -3(-4)^2 - 6(-4) + 5 = -3(16) + 24 + 5 = -48 + 24 + 5 = -19$

$x = -1$ のとき、$y = -3(-1)^2 - 6(-1) + 5 = -3 + 6 + 5 = 8$

したがって、最大値は $8$、最小値は $-19$ です。

(3) $y = -x^2 + 3x - \frac{1}{4}$

平方完成を行うと、$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + 2$ となります。頂点の座標は $(\frac{3}{2}, 2)$ です。定義域 $1 \le x \le 3$ に頂点のx座標 $x = \frac{3}{2}$ が含まれています。

$x = 1$ のとき、$y = -(1)^2 + 3(1) - \frac{1}{4} = -1 + 3 - \frac{1}{4} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 3(3) - \frac{1}{4} = -9 + 9 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$y = -(\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) - \frac{1}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} - \frac{1}{4} = \frac{-9 + 18 - 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

したがって、最大値は $2$、最小値は $-\frac{1}{4}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $8$, 最小値: $-1$

(2) 最大値: $8$, 最小値: $-19$

(3) 最大値: $2$, 最小値: $-\frac{1}{4}$