複素数平面上の三角形 OAB において、O, A, B を表す複素数をそれぞれ 0, $\alpha$, $\beta$ とする。 (1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ が、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$ を満たすことを示す。 (2) 三角形 OAB の外心を表す複素数を $\alpha$, $\bar{\alpha}$, $\beta$, $\bar{\beta}$ を用いて表す。 (3) 三角形 OAB の外心を表す複素数が $\alpha + \beta$ となるとき、$\frac{\beta}{\alpha}$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上の三角形 OAB において、O, A, B を表す複素数をそれぞれ 0, $\alpha$, $\beta$ とする。

(1) 線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ が、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$ を満たすことを示す。

(2) 三角形 OAB の外心を表す複素数を $\alpha$, $\bar{\alpha}$, $\beta$, $\bar{\beta}$ を用いて表す。

(3) 三角形 OAB の外心を表す複素数が $\alpha + \beta$ となるとき、$\frac{\beta}{\alpha}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $z$ が線分 OA の垂直二等分線上にある条件は、$|z - 0| = |z - \alpha|$ が成り立つことである。

したがって、$|z|^2 = |z - \alpha|^2$ である。

$z\bar{z} = (z - \alpha)(\bar{z} - \bar{\alpha})$

$z\bar{z} = z\bar{z} - z\bar{\alpha} - \alpha\bar{z} + \alpha\bar{\alpha}$

$z\bar{\alpha} + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$

$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$

したがって、線分 OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ は、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$ を満たす。

(2)

OAB の外心は、OA の垂直二等分線と OB の垂直二等分線の交点である。

OA の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ は、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$ を満たす。

同様に、OB の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ は、$\bar{\beta}z + \beta\bar{z} - \beta\bar{\beta} = 0$ を満たす。

2つの式を連立して解く。

$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} = \alpha\bar{\alpha}$ (1)

$\bar{\beta}z + \beta\bar{z} = \beta\bar{\beta}$ (2)

(1) $\times \beta$ - (2) $\times \alpha$ より

$\beta\bar{\alpha}z + \alpha\beta\bar{z} - \alpha\bar{\beta}z - \alpha\beta\bar{z} = \beta\alpha\bar{\alpha} - \alpha\beta\bar{\beta}$

$(\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta})z = \beta\alpha\bar{\alpha} - \alpha\beta\bar{\beta}$

$z = \frac{\alpha\beta(\bar{\alpha} - \bar{\beta})}{\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta}}$

$z = \frac{\alpha\beta(\bar{\alpha} - \bar{\beta})}{\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta}}$

(3)

外心が $\alpha + \beta$ であるとき、

$\alpha + \beta = \frac{\alpha\beta(\bar{\alpha} - \bar{\beta})}{\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta}}$

$(\alpha + \beta)(\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta}) = \alpha\beta(\bar{\alpha} - \bar{\beta})$

$\alpha\beta\bar{\alpha} - \alpha^2\bar{\beta} + \beta^2\bar{\alpha} - \alpha\beta\bar{\beta} = \alpha\beta\bar{\alpha} - \alpha\beta\bar{\beta}$

$-\alpha^2\bar{\beta} + \beta^2\bar{\alpha} = 0$

$\beta^2\bar{\alpha} = \alpha^2\bar{\beta}$

$\frac{\beta^2}{\alpha^2} = \frac{\bar{\beta}}{\bar{\alpha}}$

$\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^2 = \overline{\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)}$

$\frac{\beta}{\alpha} = w$ とおくと $w^2 = \bar{w}$。

$w = re^{i\theta}$ とすると、$r^2e^{2i\theta} = re^{-i\theta}$

$r^2 = r$ より、$r = 0$ または $r = 1$。$r=0$のとき、$\beta=0$となるので不適。よって$r=1$

$2\theta = -\theta + 2n\pi$

$3\theta = 2n\pi$

$\theta = \frac{2n\pi}{3}$ $(n=0,1,2)$

$w = e^{0i} = 1$

$w = e^{\frac{2\pi}{3}i} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$w = e^{\frac{4\pi}{3}i} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} - \alpha\bar{\alpha} = 0$ を満たすことを示せた。

(2) $z = \frac{\alpha\beta(\bar{\alpha} - \bar{\beta})}{\beta\bar{\alpha} - \alpha\bar{\beta}}$

(3) $\frac{\beta}{\alpha} = 1, -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$