与えられたベクトルが線形独立であるか線形従属であるかを判定する問題です。具体的には、(1)から(5)のそれぞれについて、ベクトルが線形独立か線形従属かを判断します。

1. 問題の内容

与えられたベクトルが線形独立であるか線形従属であるかを判定する問題です。具体的には、(1)から(5)のそれぞれについて、ベクトルが線形独立か線形従属かを判断します。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \end{bmatrix}$

$\vec{a}_2 = -2 \vec{a}_1$ なので、線形従属。

(2) $\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

$c_1 \vec{a}_1 + c_2 \vec{a}_2 = \vec{0}$ を考えると、

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 \\ -c_1 + c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$c_1 = 0$, $-c_1 + c_2 = 0$ より、$c_1 = c_2 = 0$。よって、線形独立。

(3) $\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix}$

2次元ベクトルが3つあるので、線形従属。

(4) $\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$c_1 \vec{a}_1 + c_2 \vec{a}_2 = \vec{0}$ を考えると、

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 + 2c_2 \\ -2c_1 - c_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$c_1 + 2c_2 = 0$, $-2c_1 - c_2 = 0$ より、 $c_1 = c_2 = 0$。よって、線形独立。

(5) $\vec{a}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$, $\vec{a}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$c_1 \vec{a}_1 + c_2 \vec{a}_2 + c_3 \vec{a}_3 = \vec{0}$ を考えると、

$c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} + c_3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_1 + c_2 + c_3 \\ -2c_1 + c_3 \\ c_1 - c_2 + c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$c_1 + c_2 + c_3 = 0$, $-2c_1 + c_3 = 0$, $c_1 - c_2 + c_3 = 0$

$-2c_1 + c_3 = 0$ より $c_3 = 2c_1$。

$c_1 + c_2 + 2c_1 = 0$ より $c_2 = -3c_1$。

$c_1 - (-3c_1) + 2c_1 = 0$ より $6c_1 = 0$。

よって、$c_1 = c_2 = c_3 = 0$。よって、線形独立。

3. 最終的な答え

(1) 線形従属

(2) 線形独立

(3) 線形従属

(4) 線形独立

(5) 線形独立