与えられた4x4行列式$|A|$について、 (1) 第2行で余因子展開せよ。 (2) 第4列で余因子展開せよ。 (3) $|A|$の値を求めよ。 $|A| = \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 & 3 \\ 3 & -2 & -2 & 2 \\ 4 & 0 & -4 & 0 \\ 6 & 0 & 8 & 0 \end{vmatrix}$

## 問4.9

1. 問題の内容

与えられた4x4行列式$|A|$について、

(1) 第2行で余因子展開せよ。

(2) 第4列で余因子展開せよ。

(3) $|A|$の値を求めよ。

$|A| = \begin{vmatrix}

0 & -1 & 5 & 3 \\

3 & -2 & -2 & 2 \\

4 & 0 & -4 & 0 \\

6 & 0 & 8 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 第2行での余因子展開

$|A| = 3C_{21} + (-2)C_{22} + (-2)C_{23} + 2C_{24}$

ここで、$C_{ij}$は(i, j)成分の余因子。

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \end{vmatrix} = -1 * ((-4)*0 - 0*8) = 0$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & -4 & 0 \\ 6 & 8 & 0 \end{vmatrix} = 0*(-4*0 - 0*8) - 5*(4*0 - 0*6) + 3*(4*8 - (-4)*6) = 3*(32 + 24) = 3*56 = 168$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 * (0*(0*0 - 0*0) - (-1)*(4*0 - 0*6) + 3*(4*0 - 0*6)) = 0$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 5 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = 0*(0*8 - (-4)*0) - (-1)*(4*8 - (-4)*6) + 5*(4*0 - 0*6) = 32 + 24 = 56$

したがって、

$|A| = 3*0 + (-2)*168 + (-2)*0 + 2*56 = -336 + 112 = -224$

(2) 第4列での余因子展開

$|A| = 3C_{14} + 2C_{24} + 0C_{34} + 0C_{44}$

$C_{14} = (-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 3 & -2 & -2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} = -1 * (3*(0*8 - (-4)*0) - (-2)*(4*8 - (-4)*6) + (-2)*(4*0 - 0*6)) = -1 * (2*(32+24)) = -2*56 = -112$

$C_{24} = 56$ (上記(1)で計算済み)

したがって、

$|A| = 3*(-112) + 2*56 = -336 + 112 = -224$

(3) $|A|$の値

上記(1)(2)より$|A| = -224$

3. 最終的な答え

(1) 第2行での余因子展開: $|A| = -224$

(2) 第4列での余因子展開: $|A| = -224$

(3) $|A|$の値: $-224$

## 問4.10

1. 問題の内容

与えられた4x4行列式$|A|$について、

(1) 第3行で余因子展開せよ。

(2) (4,3)成分に対する余因子の値が-2であるとき、定数$a$の値を定めよ。

(3) (2)のときの行列式$|A|$の値を求めよ。

$|A| = \begin{vmatrix}

a & -2 & 5 & -5 \\

1 & 0 & -4 & 2 \\

0 & 2 & -1 & 0 \\

-2 & 1 & 3 & 0

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 第3行での余因子展開

$|A| = 0*C_{31} + 2*C_{32} + (-1)*C_{33} + 0*C_{34} = 2C_{32} - C_{33}$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & 5 & -5 \\ 1 & -4 & 2 \\ -2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -1 * (a*(-4*0 - 2*3) - 5*(1*0 - 2*(-2)) + (-5)*(1*3 - (-4)*(-2))) = -1 * (-6a - 20 - 5) = 6a + 25$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & -2 & -5 \\ 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = a*(0*0 - 2*1) - (-2)*(1*0 - 2*(-2)) + (-5)*(1*1 - 0*(-2)) = -2a + 8 - 5 = -2a + 3$

したがって、

$|A| = 2(6a + 25) - (-2a + 3) = 12a + 50 + 2a - 3 = 14a + 47$

(2) (4,3)成分に対する余因子が-2

$C_{43} = (-1)^{4+3} \begin{vmatrix} a & -2 & -5 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = -1 * (a*(0*0 - 2*2) - (-2)*(1*0 - 2*0) + (-5)*(1*2 - 0*0)) = -1 * (-4a - 10) = 4a + 10$

$C_{43} = -2$より

$4a + 10 = -2$

$4a = -12$

$a = -3$

(3) $a = -3$のときの行列式$|A|$の値

上記(1)より$|A| = 14a + 47$

$a = -3$を代入すると

$|A| = 14*(-3) + 47 = -42 + 47 = 5$

3. 最終的な答え

(1) 第3行での余因子展開: $|A| = 14a + 47$

(2) $a$の値: $-3$

(3) $|A|$の値: $5$