与えられた行列が対角化可能かどうかを調べ、もし対角化可能であれば対角化せよ。

1. 問題の内容

与えられた行列が対角化可能かどうかを調べ、もし対角化可能であれば対角化せよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & -6 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = (7-\lambda)(-2-\lambda) - (-6)(3) = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) = 0$.

固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4$.

$\lambda_1 = 1$ に対する固有ベクトルは、

$\begin{pmatrix} 6 & -6 \\ 3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = y$. よって $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\lambda_2 = 4$ に対する固有ベクトルは、

$\begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = 2y$. よって $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$.

よって、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$.

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 13 & -30 \\ 5 & -12 \end{pmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = (13-\lambda)(-12-\lambda) - (-30)(5) = \lambda^2 - \lambda - 6 = (\lambda - 3)(\lambda + 2) = 0$.

固有値は $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -2$.

$\lambda_1 = 3$ に対する固有ベクトルは、

$\begin{pmatrix} 10 & -30 \\ 5 & -15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = 3y$. よって $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$\lambda_2 = -2$ に対する固有ベクトルは、

$\begin{pmatrix} 15 & -30 \\ 5 & -10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ より $x = 2y$. よって $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

$P = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ とすると、$P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

よって、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$.

(3) 行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = (2-\lambda)^2 - 3 = \lambda^2 - 4\lambda + 1 = 0$.

固有値は $\lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

固有値が異なるので対角化可能。

(4) 行列 $A = \begin{pmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

特性方程式は $|A - \lambda I| = 0$ を計算する。

$-(\lambda+3)[(\lambda-3)(\lambda-5) - 8] + 2[4(\lambda-5)-16] -2[16-8(\lambda-3)] = 0$.

$-(\lambda+3)(\lambda^2-8\lambda+7) + 2(4\lambda -36) -2(16 -8\lambda +24) = 0$.

$-(\lambda^3 -8\lambda^2+7\lambda+3\lambda^2-24\lambda+21) + 8\lambda -72 -80+16\lambda = 0$.

$-\lambda^3 +5\lambda^2 +17\lambda -21+24\lambda-152 = 0$.

$-\lambda^3 +5\lambda^2 + 41\lambda -173 = 0$.

$\lambda^3 -5\lambda^2 - 41\lambda +173 = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 対角化可能であり、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ (ただし、$P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$).

(2) 対角化可能であり、$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$ (ただし、$P = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$).

(3) 対角化可能。

(4) 計算中