## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた7つの定積分を計算する問題です。それぞれの積分は以下の通りです。

(1) $\int_{-2}^{-1} (x+1)(2x+3)^2 dx$

(2) $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$

(3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$

(4) $\int_{\frac{\pi^2}{16}}^{\frac{\pi^2}{9}} \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx$

(5) $\int_{0}^{\log 4} \frac{e^x}{(e^x+2)^3} dx$

(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

(7) $\int_{\log 2}^{\log 4} \frac{1}{\sqrt{e^x - 1}} dx$ ただし、$t = \sqrt{e^x - 1}$

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2. 解き方の手順

各積分について、解き方の手順を説明します。

**(1) $\int_{-2}^{-1} (x+1)(2x+3)^2 dx$**

1. $(2x+3)^2$を展開します: $(2x+3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$

2. $(x+1)$と展開した式を掛け合わせます: $(x+1)(4x^2 + 12x + 9) = 4x^3 + 16x^2 + 21x + 9$

3. 積分を行います: $\int (4x^3 + 16x^2 + 21x + 9) dx = x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x + C$

4. 定積分の範囲を適用します:

$[x^4 + \frac{16}{3}x^3 + \frac{21}{2}x^2 + 9x]_{-2}^{-1} = (1 - \frac{16}{3} + \frac{21}{2} - 9) - (16 - \frac{128}{3} + \frac{42}{2} - 18) = \frac{1}{6}$

**(2) $\int_{-1}^{0} \frac{3x}{\sqrt{1-3x}} dx$**

1. $u = 1-3x$ と置換します。すると、$x = \frac{1-u}{3}$ および $dx = -\frac{1}{3}du$ となります。

2. 積分の範囲を更新します。$x=-1$のとき、$u=4$、$x=0$のとき、$u=1$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{4}^{1} \frac{1-u}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} \frac{1-u}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{3} \int_{1}^{4} (u^{-\frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}}) du$

4. 積分を行います: $\frac{1}{3} [2u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = \frac{1}{3} [(2(2) - \frac{2}{3}(8)) - (2 - \frac{2}{3})] = \frac{1}{3} [4 - \frac{16}{3} - 2 + \frac{2}{3}] = \frac{1}{3} [2 - \frac{14}{3}] = \frac{1}{3} [-\frac{8}{3}] = -\frac{8}{9}$

**(3) $\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} dx$**

1. $u = \frac{1}{x}$ と置換します。すると、$du = -\frac{1}{x^2} dx$ となります。

2. 積分の範囲を更新します。$x=\frac{1}{2}$のとき、$u=2$、$x=1$のとき、$u=1$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{2}^{1} e^u (-du) = \int_{1}^{2} e^u du$

4. 積分を行います: $[e^u]_{1}^{2} = e^2 - e$

**(4) $\int_{\frac{\pi^2}{16}}^{\frac{\pi^2}{9}} \frac{\sec^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} dx$**

1. $u = \sqrt{x}$ と置換します。すると、$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ より、$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$ となります。

2. 積分の範囲を更新します。$x=\frac{\pi^2}{16}$のとき、$u=\frac{\pi}{4}$、$x=\frac{\pi^2}{9}$のとき、$u=\frac{\pi}{3}$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2(u) \cdot 2 du = 2\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2(u) du$

4. 積分を行います: $2[\tan(u)]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = 2(\tan(\frac{\pi}{3}) - \tan(\frac{\pi}{4})) = 2(\sqrt{3} - 1)$

**(5) $\int_{0}^{\log 4} \frac{e^x}{(e^x+2)^3} dx$**

1. $u = e^x + 2$ と置換します。すると、$du = e^x dx$ となります。

2. 積分の範囲を更新します。$x=0$のとき、$u=3$、$x=\log 4$のとき、$u=6$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{3}^{6} \frac{1}{u^3} du = \int_{3}^{6} u^{-3} du$

4. 積分を行います: $[\frac{u^{-2}}{-2}]_{3}^{6} = [-\frac{1}{2u^2}]_{3}^{6} = -\frac{1}{2(36)} + \frac{1}{2(9)} = -\frac{1}{72} + \frac{1}{18} = \frac{-1+4}{72} = \frac{3}{72} = \frac{1}{24}$

**(6) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$**

1. $u = \sin x + 1$ と置換します。すると、$du = \cos x dx$ となります。

2. 積分の範囲を更新します。$x=0$のとき、$u=1$、$x=\frac{\pi}{2}$のとき、$u=2$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{1}^{2} \frac{1}{u} du$

4. 積分を行います: $[\ln|u|]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

**(7) $\int_{\log 2}^{\log 4} \frac{1}{\sqrt{e^x - 1}} dx$ ただし、$t = \sqrt{e^x - 1}$**

1. $t = \sqrt{e^x - 1}$ なので、$t^2 = e^x - 1$ より、$e^x = t^2 + 1$。すると、$x = \log(t^2 + 1)$ となります。また、$dx = \frac{2t}{t^2+1} dt$

2. 積分の範囲を更新します。$x = \log 2$ のとき、$t = \sqrt{e^{\log 2} - 1} = \sqrt{2-1} = 1$。$x = \log 4$ のとき、$t = \sqrt{e^{\log 4} - 1} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$。

3. 積分を書き換えます: $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t} \cdot \frac{2t}{t^2+1} dt = 2\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{t^2+1} dt$

4. 積分を行います: $2[\arctan(t)]_{1}^{\sqrt{3}} = 2(\arctan(\sqrt{3}) - \arctan(1)) = 2(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{6}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $-\frac{8}{9}$

(3) $e^2 - e$

(4) $2(\sqrt{3} - 1)$

(5) $\frac{1}{24}$

(6) $\ln 2$

(7) $\frac{\pi}{6}$