関数 $y = x^3 - 6x + a$ の極大値と極小値がともに正となるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 - 6x + a$ の極大値と極小値がともに正となるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を与える $x$ の値を求めます。

$y' = 3x^2 - 6$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$3x^2 = 6$

$x^2 = 2$

$x = \pm\sqrt{2}$

次に、それぞれの $x$ の値における $y$ の値を求めます。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$y = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + a = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + a = 4\sqrt{2} + a$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$y = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + a = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + a = -4\sqrt{2} + a$

極大値と極小値を判別するため、さらに微分します。

$y'' = 6x$

$x = -\sqrt{2}$ のとき、$y'' = -6\sqrt{2} < 0$ なので、極大値をとります。

$x = \sqrt{2}$ のとき、$y'' = 6\sqrt{2} > 0$ なので、極小値をとります。

問題の条件から、極大値 $4\sqrt{2} + a > 0$ かつ 極小値 $-4\sqrt{2} + a > 0$ である必要があります。

$4\sqrt{2} + a > 0$ より、$a > -4\sqrt{2}$

$-4\sqrt{2} + a > 0$ より、$a > 4\sqrt{2}$

したがって、$a > 4\sqrt{2}$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$a > 4\sqrt{2}$