与えられた問題は、以下の和を計算することです。 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、以下の和を計算することです。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$

2. 解き方の手順

この問題を解くために、部分分数分解を用います。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ を、次のように分解します。

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} + \frac{C}{k+2}$

両辺に $k(k+1)(k+2)$ をかけると、

$1 = A(k+1)(k+2) + B(k)(k+2) + C(k)(k+1)$

$k = 0$ を代入すると、$1 = A(1)(2)$ より $A = \frac{1}{2}$

$k = -1$ を代入すると、$1 = B(-1)(1)$ より $B = -1$

$k = -2$ を代入すると、$1 = C(-2)(-1)$ より $C = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)}$

ここで、和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k} - \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2(k+2)} \right)$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+2}$

$= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k} + \frac{1}{2} \sum_{k=3}^{n+2} \frac{1}{k}$

$= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} + \sum_{k=3}^{n} \frac{1}{k} \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} \right)$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)}$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)} + \frac{1}{2(n+2)}$

$= \frac{1}{4} - \frac{(n+2) - (n+1)}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$

$= \frac{(n+1)(n+2) - 2}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n^2 + 3n + 2 - 2}{4(n+1)(n+2)}$

$= \frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$