与えられた陰関数に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた陰関数に対して、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

各陰関数を $x$ について微分し、$\frac{dy}{dx}$ を解く。

(1) $x^2 + y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分する。

$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}$

(2) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{2} = 1$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{2x}{3} - \frac{2y}{2}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2x}{3} - y\frac{dy}{dx} = 0$

$y\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$

(3) $2xy - 3 = 0$

両辺を $x$ で微分する。

$2(x\frac{dy}{dx} + y) = 0$

$x\frac{dy}{dx} + y = 0$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

元の式から、$2xy = 3$ なので、$y = \frac{3}{2x}$。従って、$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2x^2}$.

また、$x=\frac{3}{2y}$なので、$\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{3/2y}=-\frac{2}{3}y^2$.

(4) $x^2 + 3xy - y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分する。

$2x + 3(x\frac{dy}{dx} + y) - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$2x + 3x\frac{dy}{dx} + 3y - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$(3x-2y)\frac{dy}{dx} = -2x - 3y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$

(5) $\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{y^2} = \sqrt[3]{a^2}$

$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{2}{3}x^{-1/3} + \frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{2}{3}y^{-1/3}\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-1/3}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-1/3}}{y^{-1/3}} = -\frac{y^{1/3}}{x^{1/3}} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$

(6) $(y+1)^2 = x^2 + x$

両辺を $x$ で微分する。

$2(y+1)\frac{dy}{dx} = 2x + 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{2(y+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y}$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} = -\frac{3}{2x^2} = -\frac{2y^2}{3}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x+3y}{3x-2y}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{1/3}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{2(y+1)}$