(1) 関数 $y = \sin{\frac{x}{2}}$ の周期を求め、関数 $y = \sin{(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})}$ のグラフが $y = \sin{\frac{x}{2}}$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものか求めます。 (2) 関数 $y = a\cos{(bx + c)}$ のグラフが与えられており、$a$, $b$, $c$, $p$, $q$ の値を求めます。ただし、$a>0$, $b>0$, $-\frac{\pi}{2} < c < 0$ とします。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sin{\frac{x}{2}}$ の周期を求め、関数 $y = \sin{(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})}$ のグラフが $y = \sin{\frac{x}{2}}$ のグラフを $x$ 軸方向にどれだけ平行移動したものか求めます。

(2) 関数 $y = a\cos{(bx + c)}$ のグラフが与えられており、$a$, $b$, $c$, $p$, $q$ の値を求めます。ただし、$a>0$, $b>0$, $-\frac{\pi}{2} < c < 0$ とします。

2. 解き方の手順

(1)

関数 $y = \sin{kx}$ の周期は $\frac{2\pi}{|k|}$ であるので、$y = \sin{\frac{x}{2}}$ の周期は $\frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$。

$y = \sin{(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} = \sin{\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})}$ より、$y = \sin{\frac{x}{2}}$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したもの。

(2)

グラフより、振幅は $a = 2$。

周期は $\frac{7\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{8\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$ である。

よって、$b = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{3}} = 3$。

$p$ は周期の終点なので、$p = \frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi + 8\pi}{12} = \frac{15\pi}{12} = \frac{5\pi}{4}$。

グラフが $y = a\cos{(bx+c)}$ で表されるので、$y = 2\cos{(3x + c)}$。

$x = \frac{\pi}{12}$ のとき $y = 2$ より、

$2 = 2\cos{(3\cdot\frac{\pi}{12} + c)} = 2\cos{(\frac{\pi}{4} + c)}$

$1 = \cos{(\frac{\pi}{4} + c)}$

$\frac{\pi}{4} + c = 0$

$c = -\frac{\pi}{4}$。

$y$ 軸との交点 $q$ は $x = 0$ のときなので、

$q = 2\cos{c} = 2\cos{(-\frac{\pi}{4})} = 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) ア：4、イ：1/3

(2) ウ：2、エ：3、オ：4、カ：5、キ：4、ク：2