## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

次の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 - 16}{x + 4}$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - x - 6}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{6}{x+3} - 2 \right)$

##

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to -4} \frac{x^2 - 16}{x + 4}$

まず、$x^2 - 16$ を因数分解します。

$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$

したがって、

$\frac{x^2 - 16}{x + 4} = \frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} = x - 4$

$x \neq -4$ であるので、約分できます。

$\lim_{x \to -4} (x - 4) = -4 - 4 = -8$

(2) $\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 8}{x^2 - x - 6}$

$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$

$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$

したがって、

$\frac{x^3 + 8}{x^2 - x - 6} = \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 3)(x + 2)}$

$x \neq -2$ であるので、約分できます。

$\frac{x^2 - 2x + 4}{x - 3}$

$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 3} = \frac{(-2)^2 - 2(-2) + 4}{-2 - 3} = \frac{4 + 4 + 4}{-5} = \frac{12}{-5} = -\frac{12}{5}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left( \frac{6}{x+3} - 2 \right)$

$\frac{6}{x+3} - 2 = \frac{6 - 2(x+3)}{x+3} = \frac{6 - 2x - 6}{x+3} = \frac{-2x}{x+3}$

したがって、

$\frac{1}{x} \left( \frac{6}{x+3} - 2 \right) = \frac{1}{x} \left( \frac{-2x}{x+3} \right) = \frac{-2x}{x(x+3)} = \frac{-2}{x+3}$

$x \neq 0$ であるので、約分できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{-2}{x+3} = \frac{-2}{0+3} = -\frac{2}{3}$

##

3. 最終的な答え

(1) -8

(2) $-\frac{12}{5}$

(3) $-\frac{2}{3}$