次の和 $S$ を求めよ。 $S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化する。

一般項 $\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$ を有理化すると、

$\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} = \frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})(\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1})} = \frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{(2k-1)-(2k+1)} = \frac{\sqrt{2k-1}-\sqrt{2k+1}}{-2} = \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$

$S$ は以下のように書き換えられる。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})$

この和は、隣り合う項が打ち消し合う形の和である（telescoping sum）。

$S = \frac{1}{2} [ (\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + \cdots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}) ]$

$S = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - \sqrt{1}) = \frac{1}{2} (\sqrt{2n+1} - 1)$

3. 最終的な答え

$S = \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$