正四面体OABCにおいて、底面△ABCの重心をGとする。位置ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、 (1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。 (2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$であることを証明せよ。

1. 問題の内容

正四面体OABCにおいて、底面△ABCの重心をGとする。位置ベクトル$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、

(1) $\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表せ。

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 重心の定義から、$\vec{OG}$は$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表すことができる。

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$を示すためには、$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = 0$ を示せばよい。正四面体であること、つまり$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$かつ$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$であることを用いる。

(1)

三角形ABCの重心Gの位置ベクトルは、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3}$

であるから、

$\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2)

$\vec{OG} \perp \vec{AB}$ を示すためには、$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = 0$ を示せばよい。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$

であるから、

$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} \cdot (\vec{b} - \vec{a})$

$= \frac{1}{3} [(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})]$

$= \frac{1}{3} (\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a})$

$= \frac{1}{3} (-|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{a})$

正四面体であることから、 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}|$ かつ $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a}$

ゆえに、

$\vec{OG} \cdot \vec{AB} = \frac{1}{3} (-|\vec{a}|^2 + |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{3}(0) = 0$

よって、$\vec{OG} \perp \vec{AB}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

(2) $\vec{OG} \perp \vec{AB}$