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関数 $y = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta$ について、$t = \sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$y$ を $t$ で表し、$-\pi \le \theta \le 0$ における $t$ の範囲を求め、$y$ の最大値、最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

解析学三角関数最大最小関数の合成二次関数
2025/7/10

1. 問題の内容

関数 y=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+cos⁡θy = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta について、t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta とおくとき、yy を tt で表し、−π≤θ≤0-\pi \le \theta \le 0 における tt の範囲を求め、yy の最大値、最小値とそのときの θ\theta の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、t=sin⁡θ+cos⁡θt = \sin\theta + \cos\theta の両辺を2乗すると、
t2=(sin⁡θ+cos⁡θ)2=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1+2sin⁡θcos⁡θt^2 = (\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta
よって、
sin⁡θcos⁡θ=t2−12\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}
したがって、
y=sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ+cos⁡θ=t2−12+t=12t2+t−12y = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta + \cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2} + t = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}
次に、t=sin⁡θ+cos⁡θ=2sin⁡(θ+π4)t = \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) である。 −π≤θ≤0-\pi \le \theta \le 0 より、−3π4≤θ+π4≤π4-\frac{3\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} である。
したがって、−1≤sin⁡(θ+π4)≤12 -1 \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \frac{1}{\sqrt{2}} であるから、
−2≤2sin⁡(θ+π4)≤1-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1 となる。
よって、−2≤t≤1-\sqrt{2} \le t \le 1
y=12t2+t−12=12(t2+2t)−12=12(t+1)2−1y = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t+1)^2 - 1
−2≤t≤1-\sqrt{2} \le t \le 1 であるから、
t=1t=1 のとき、yy は最大値 12(1+1)2−1=1\frac{1}{2}(1+1)^2 - 1 = 1 をとる。
t=1t = 1 のとき、sin⁡θ+cos⁡θ=1\sin\theta + \cos\theta = 1 より、2sin⁡(θ+π4)=1\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1
sin⁡(θ+π4)=12\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}
−3π4≤θ+π4≤π4-\frac{3\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} であるから、θ+π4=π4\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} または θ+π4=−7π4+2π=π4\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi}{4}
よって、θ=0\theta = 0
t=−2t = -\sqrt{2} のとき、yy は最小値 12(−2+1)2−1=12(2−22+1)−1=32−2−1=12−2\frac{1}{2}(-\sqrt{2}+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(2 - 2\sqrt{2} + 1) - 1 = \frac{3}{2} - \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{2} - \sqrt{2} をとる。
t=−2t = -\sqrt{2} のとき、sin⁡θ+cos⁡θ=−2\sin\theta + \cos\theta = -\sqrt{2} より、2sin⁡(θ+π4)=−2\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}
sin⁡(θ+π4)=−1\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1
−3π4≤θ+π4≤π4-\frac{3\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} であるから、θ+π4=−π2\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}
よって、θ=−3π4\theta = -\frac{3\pi}{4}

3. 最終的な答え

ア: 1
イ: 2
ウ: 1
エ: 2
オ: 2
カ: 1
キ: 0
ク: 1
ケ: 3
コサ: 3
シ: 4
スセ: 1/2 - √2

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