円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 1$ の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 1$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式と直線の方程式を連立させて解きます。

ステップ1: 直線の方程式を円の方程式に代入します。

$y = -x + 1$ を $x^2 + y^2 = 3$ に代入すると、

$x^2 + (-x + 1)^2 = 3$

ステップ2: 式を展開して整理します。

$x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 3$

$2x^2 - 2x + 1 = 3$

$2x^2 - 2x - 2 = 0$

ステップ3: 式を簡略化します。

両辺を2で割ると、

$x^2 - x - 1 = 0$

ステップ4: 二次方程式を解きます。解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

ステップ5: 各$x$の値に対応する$y$の値を求めます。

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のとき

$y_1 = -x_1 + 1 = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-1 - \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき

$y_2 = -x_2 + 1 = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-1 + \sqrt{5} + 2}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

円と直線の交点の座標は、

$(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ と $(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$