円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の交点を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 3$ と直線 $y = -x + 7$ の交点を求める問題です。

2. 解き方の手順

円と直線の交点を求めるには、連立方程式を解きます。

まず、直線の方程式 $y = -x + 7$ を円の方程式 $x^2 + y^2 = 3$ に代入します。

$x^2 + (-x + 7)^2 = 3$

この式を展開します。

$x^2 + (x^2 - 14x + 49) = 3$

整理すると、

$2x^2 - 14x + 46 = 0$

両辺を2で割ります。

$x^2 - 7x + 23 = 0$

この二次方程式を解の公式を使って解きます。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

この場合、$a = 1$, $b = -7$, $c = 23$ なので、

$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(23)}}{2(1)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 92}}{2}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{-43}}{2}$

判別式が負であるため、実数解は存在しません。つまり、円と直線は交点を持ちません。

3. 最終的な答え

円と直線は交点を持たない。