画像に記載されている極限の問題を解きます。具体的には、以下の8つの極限を計算します。 * 8(1): $\lim_{x \to \infty} (x^2 - 7)$ * 8(2): $\lim_{x \to \infty} (x^3 + 2)$ * 8(3): $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 + x^3}$ * 9(1): $\lim_{x \to \infty} (x^3 - x^2)$ * 9(2): $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + 5x)$ * 10(1): $\lim_{x \to \infty} (3x^2 + x^3)$ * 10(2): $\lim_{x \to \infty} (-7x^2 - 2x^3)$

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に記載されている極限の問題を解きます。具体的には、以下の8つの極限を計算します。

* 8(1): $\lim_{x \to \infty} (x^2 - 7)$

* 8(2): $\lim_{x \to \infty} (x^3 + 2)$

* 8(3): $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 + x^3}$

* 9(1): $\lim_{x \to \infty} (x^3 - x^2)$

* 9(2): $\lim_{x \to \infty} (-x^3 + 5x)$

* 10(1): $\lim_{x \to \infty} (3x^2 + x^3)$

* 10(2): $\lim_{x \to \infty} (-7x^2 - 2x^3)$

2. 解き方の手順

各問題について、以下のように考えます。

* **8(1):** $x$ が無限大に近づくと、$x^2$ も無限大に近づきます。定数 7 を引いても無限大なので、極限は無限大です。

* **8(2):** $x$ が無限大に近づくと、$x^3$ も無限大に近づきます。定数 2 を足しても無限大なので、極限は無限大です。

* **8(3):** $x$ が無限大に近づくと、$x^3$ も無限大に近づき、$4+x^3$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{4 + x^3}$ は 0 に近づきます。

* **9(1):** $x$ が無限大に近づくと、$x^3$ も $x^2$ も無限大に近づきます。$x^3 - x^2 = x^3(1 - \frac{1}{x})$ と変形すると、$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$ なので、$x^3 - x^2$ は無限大に発散します。

* **9(2):** $x$ が無限大に近づくと、$x^3$ も $5x$ も無限大に近づきます。$-x^3 + 5x = x^3(-1 + \frac{5}{x^2})$ と変形すると、$x \to \infty$ のとき $\frac{5}{x^2} \to 0$ なので、$-x^3 + 5x$ は負の無限大に発散します。

* **10(1):** $x$ が無限大に近づくと、$3x^2$ も $x^3$ も無限大に近づきます。$3x^2 + x^3 = x^3(1 + \frac{3}{x})$ と変形すると、$x \to \infty$ のとき $\frac{3}{x} \to 0$ なので、$3x^2 + x^3$ は無限大に発散します。

* **10(2):** $x$ が無限大に近づくと、$7x^2$ も $2x^3$ も無限大に近づきます。$-7x^2 - 2x^3 = -2x^3(1 + \frac{7}{2x})$ と変形すると、$x \to \infty$ のとき $\frac{7}{2x} \to 0$ なので、$-7x^2 - 2x^3$ は負の無限大に発散します。

3. 最終的な答え

* 8(1): $\infty$

* 8(2): $\infty$

* 8(3): $0$

* 9(1): $\infty$

* 9(2): $-\infty$

* 10(1): $\infty$

* 10(2): $-\infty$