与えられた無限級数の和を求め、その値を分数で表す。無限級数は以下の通りです。 $\frac{4-3}{5} + \frac{4^2-3^2}{5^2} + \frac{4^3-3^3}{5^3} + \cdots$

1. 問題の内容

与えられた無限級数の和を求め、その値を分数で表す。無限級数は以下の通りです。

$\frac{4-3}{5} + \frac{4^2-3^2}{5^2} + \frac{4^3-3^3}{5^3} + \cdots$

2. 解き方の手順

この無限級数は、2つの等比数列の和の形に変形できます。与えられた式は、

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n - 3^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4}{5}\right)^n - \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n$

ここで、各項は等比数列の和であり、公比がそれぞれ$\frac{4}{5}$と$\frac{3}{5}$です。どちらの公比も絶対値が1より小さいため、それぞれの等比数列の和は収束します。

等比数列の和の公式は、$S = \frac{a}{1-r}$で、ここで$a$は初項、$r$は公比です。

最初の等比数列の和は:

$S_1 = \frac{\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{5}} = 4$

2番目の等比数列の和は:

$S_2 = \frac{\frac{3}{5}}{1-\frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{2}$

したがって、元の無限級数の和は：

$S = S_1 - S_2 = 4 - \frac{3}{2} = \frac{8}{2} - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{2}$