次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。 (1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ (2) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

1. 問題の内容

次の数列 $\{a_n\}$ の極限を求めよ。

(1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$

(2) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$

2. 解き方の手順

(1) $a_n = (1 - \frac{1}{n})^n$ の極限を求める。

$x = -n$ とすると、$n \to \infty$ のとき $x \to -\infty$ であり、

$a_n = (1 + \frac{1}{x})^{-x} = ((1 + \frac{1}{x})^x)^{-1}$ となる。

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となる。

(2) $a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ の極限を求める。

$a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+1} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ であるから、$\sqrt{n+1} + \sqrt{n} \to \infty$。

したがって、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{e}$

(2) $0$