与えられた極限値を計算する問題です。具体的には、 15 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{2x}$ 15 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 3x}$ 16 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{5x}$ 16 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\sin 4x}$ をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算する問題です。具体的には、

15 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{2x}$

15 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 3x}$

16 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{5x}$

16 (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\sin 4x}$

をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

極限を求めるために、$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式と $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ の公式を利用します。

15 (1)

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{2x}$を計算します。

$\frac{\sin 6x}{2x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot \frac{6x}{2x} = \frac{\sin 6x}{6x} \cdot 3$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{6x} = 1$ より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 6x}{2x} = 1 \cdot 3 = 3$

15 (2)

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 3x}$を計算します。

$\frac{\sin 7x}{\sin 3x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{7x}{3x} = \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{7}{3}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 1$ , $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ より、$\lim_{x\to 0} \frac{3x}{\sin 3x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}$

16 (1)

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{5x}$を計算します。

$\frac{\sin 2x}{5x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{5x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{5}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$ より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{5x} = 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

16 (2)

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\sin 4x}$を計算します。

$\frac{\tan x}{\sin 4x} = \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{x}{4x} = \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{4x}{\sin 4x} \cdot \frac{1}{4}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ , $\lim_{x\to 0} \frac{\sin 4x}{4x} = 1$ より、$\lim_{x\to 0} \frac{4x}{\sin 4x} = 1$

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\sin 4x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

15 (1) 3

15 (2) $\frac{7}{3}$

16 (1) $\frac{2}{5}$

16 (2) $\frac{1}{4}$