$y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくと、関数 $y$ を $t$ を用いて表し、$-\pi \le \theta \le 0$ の範囲における $t$ の取りうる値の範囲を求め、$y$ の最大値・最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta$ について、$t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくと、関数 $y$ を $t$ を用いて表し、$-\pi \le \theta \le 0$ の範囲における $t$ の取りうる値の範囲を求め、$y$ の最大値・最小値とそのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ より、

$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta$

よって、$\sin \theta \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2}$

したがって、

$y = \sin \theta \cos \theta + \sin \theta + \cos \theta = \frac{t^2 - 1}{2} + t = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}$

(2) $t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$-\pi \le \theta \le 0$ より、 $-\frac{3\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{4}$

したがって、$-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$-\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \le \sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} \cdot 1$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$

(3) $y = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t^2 + 2t + 1 - 1) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t+1)^2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(t+1)^2 - 1$

$y = \frac{1}{2}(t+1)^2 - 1$

$-1 \le t \le \sqrt{2}$ なので、

$t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $y = \frac{1}{2}(\sqrt{2}+1)^2 - 1 = \frac{1}{2}(2 + 2\sqrt{2} + 1) - 1 = \frac{3}{2} + \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{2} + \sqrt{2} = \frac{1+2\sqrt{2}}{2}$

$t = -1$ のとき最小値 $y = \frac{1}{2}(-1+1)^2 - 1 = -1$

(4) $t = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ より、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$

ただし、$-\pi \le \theta \le 0$ なので、これは不適。

$t = -1$ のとき、$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$ より、$\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$ なので、$\theta = -\frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{6\pi}{4} = -\frac{3\pi}{2}$

ただし、$-\pi \le \theta \le 0$ なので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

$t=\sqrt{2}$となる$\theta$を求める。$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$より、$\theta = \frac{\pi}{4}+2n\pi$となる。これは$-\pi \le \theta \le 0$を満たさない。$\theta = 0$の時、$t=1$となる。

$y = \frac{1}{2}(t+1)^2 - 1$に代入して$y = \frac{1}{2}(1+1)^2 - 1 = 2-1 = 1$

$\theta = -\pi$の時、$t = \sin(-\pi) + \cos(-\pi) = -1$

$y = -1$

$\theta + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4}$より、$\theta = -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 2

ウ: 1

エ: 2

オ: 2

カ: 2の平方根

キ: 0

ク: 1

ケ: マイナス２分のパイ

コサ: 3

シ: 4

スセ: マイナス1