以下の2つの数列が有界で単調増加であることを示し、極限を求めます。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

1. 問題の内容

以下の2つの数列が有界で単調増加であることを示し、極限を求めます。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$

(i) 単調増加性: 数学的帰納法で$a_n < 2$を示す。

$n=1$のとき、$a_1 = 1 < 2$。

$a_k < 2$を仮定すると、$a_{k+1} = \sqrt{a_k + 1} < \sqrt{2+1} = \sqrt{3} < 2$。

よって、$a_n < 2$がすべての$n$について成り立つ。

次に、$a_n < a_{n+1}$を示す。

$a_1 = 1$、$a_2 = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$なので、$a_1 < a_2$。

$a_k < a_{k+1}$を仮定すると、$a_k + 1 < a_{k+1} + 1$より、$\sqrt{a_k + 1} < \sqrt{a_{k+1} + 1}$。

これは$a_{k+1} < a_{k+2}$を意味する。

したがって、$a_n$は単調増加。

(ii) 有界性:

$a_n < 2$であることはすでに示した。また、$a_n > 0$であることも明らか。

したがって、$a_n$は有界。

(iii) 極限:

$a_n$は有界で単調増加なので、極限値$L$を持つ。

$L = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}$であるから、$L = \sqrt{L + 1}$が成り立つ。

$L^2 = L + 1$より、$L^2 - L - 1 = 0$。

$L = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

$a_n > 0$より、$L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$。

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

(i) 単調増加性: まず，$a_n > 0$であることは帰納法で簡単に示せる．

次に，$a_{n+1} - a_n = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3} - a_n = \frac{3a_n + 4 - 2a_n^2 - 3a_n}{2a_n + 3} = \frac{4 - 2a_n^2}{2a_n + 3} = \frac{2(2 - a_n^2)}{2a_n + 3}$

$a_1 = 1$, $a_2 = \frac{3+4}{2+3} = \frac{7}{5} > 1 = a_1$．

$a_n < 2$を示す．$a_1 = 1 < 2$であり，$a_k < 2$を仮定すると，$a_{k+1} = \frac{3a_k + 4}{2a_k + 3} < \frac{3(2) + 4}{2(2) + 3} = \frac{10}{7} < 2$．よって，$a_n < 2$．

すると，$2-a_n^2 > 0$となるため、$a_{n+1} - a_n > 0$．したがって，$a_n$は単調増加．

(ii) 有界性:

$a_n < 2$であることはすでに示した。また、$a_n > 0$であることも明らか。

したがって、$a_n$は有界。

(iii) 極限:

$a_n$は有界で単調増加なので、極限値$L$を持つ。

$L = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1}$であるから、$L = \frac{3L + 4}{2L + 3}$が成り立つ。

$2L^2 + 3L = 3L + 4$より、$2L^2 = 4$。

$L^2 = 2$より、$L = \pm \sqrt{2}$。

$a_n > 0$より、$L = \sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 極限: $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

(2) 極限: $\sqrt{2}$