与えられた二つの微分方程式の解を級数の形で求めます。 1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1$, 初期条件 $x=0, y=0$

1. 問題の内容

与えられた二つの微分方程式の解を級数の形で求めます。

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1$, 初期条件 $x=0, y=0$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$, 初期条件 $x=0, y=1$

2. 解き方の手順

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1. 微分方程式 $\frac{dy}{dx} = xy + 1$ の解を求める**

級数解を $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と仮定します。

初期条件 $y(0) = 0$ より、$a_0 = 0$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + 1$

左辺の級数の指数を $n+1$ に合わせるために、 $n \to n+2$ とすると、

$\sum_{n=-1}^{\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1} + 1$

$x^{-1}$ の項は $a_1 = 1$

$n \ge 0$ では、 $(n+2) a_{n+2} = a_n$

$a_{n+2} = \frac{a_n}{n+2}$

$a_0 = 0$

$a_1 = 1$

$a_2 = \frac{a_0}{2} = 0$

$a_3 = \frac{a_1}{3} = \frac{1}{3}$

$a_4 = \frac{a_2}{4} = 0$

$a_5 = \frac{a_3}{5} = \frac{1}{3 \cdot 5}$

$a_6 = \frac{a_4}{6} = 0$

$a_7 = \frac{a_5}{7} = \frac{1}{3 \cdot 5 \cdot 7}$

よって、$y = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3 \cdot 5} + \frac{x^7}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dots$

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2. 微分方程式 $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$ の解を求める**

級数解を $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と仮定します。

初期条件 $y(0) = 1$ より、$a_0 = 1$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = 2x \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n + x$

$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 a_n x^{n+1} + x$

左辺の級数の指数を $n+1$ に合わせるために、 $n \to n+2$ とすると、

$\sum_{n=-1}^{\infty} (n+2) a_{n+2} x^{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} 2 a_n x^{n+1} + x$

$x^{-1}$ の項は $a_1 = 0$

$x^{1}$の項は $2a_3 = 2a_1+1$

$n \ge 0$ では、 $(n+2) a_{n+2} = 2 a_n$

$a_{n+2} = \frac{2 a_n}{n+2}$

$a_0 = 1$

$a_1 = 0$

$a_2 = \frac{2 a_0}{2} = 1$

$a_3 = \frac{2 a_1}{3} = 0$

$a_4 = \frac{2 a_2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$a_5 = \frac{2 a_3}{5} = 0$

$a_6 = \frac{2 a_4}{6} = \frac{2 (1/2)}{6} = \frac{1}{6}$

よって、$y = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \dots$

3. 最終的な答え

1. $\frac{dy}{dx} = xy + 1$, $y(0) = 0$ の解は、$y = x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{3 \cdot 5} + \frac{x^7}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \dots$

2. $\frac{dy}{dx} = 2xy + x$, $y(0) = 1$ の解は、$y = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{6} + \dots = e^{x^2}$