与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}$ を計算し、その値を求めます。

解析学極限三角関数倍角の公式
2025/4/2

1. 問題の内容

与えられた極限
limx01cos2xx2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2}
を計算し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、倍角の公式 cos2x=12sin2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x を用いて、分子を変形します。
1cos2x=1(12sin2x)=2sin2x1 - \cos 2x = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x
したがって、極限は
limx02sin2xx2=2limx0sin2xx2=2limx0(sinxx)2\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2
limx0sinxx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 であることを用いると、
2limx0(sinxx)2=2(1)2=22 \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 = 2 (1)^2 = 2

3. 最終的な答え

2

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