次の和 $S$ を求めよ。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めよ。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

2. 解き方の手順

この問題は、等差数列と等比数列の積の和を求める問題です。

$S$ の式全体を公比である $2$ 倍した $2S$ を計算し、$S$ から $2S$ を引くことで、和を求めます。

まず、$S$ を書きます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}$

次に、$S$ を $2$ 倍した $2S$ を書きます。$S$ の各項を右に一つずらして書きます。

$2S = \quad 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n$

$S$ から $2S$ を引きます。

$S - 2S = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 5 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2^3 + \dots + (2n-1) \cdot 2^{n-1}) - (1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2^3 + \dots + (2n-3) \cdot 2^{n-1} + (2n-1) \cdot 2^n)$

$-S = 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + \dots + 2 \cdot 2^{n-1} - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}) - (2n-1) \cdot 2^n$

ここで、$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1}$ は初項 $2$, 公比 $2$, 項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{n-1} = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2(2^{n-1}-1) = 2^n - 2$

したがって、

$-S = 1 + 2(2^n - 2) - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1) \cdot 2^n$

$-S = 2^{n+1} - 3 - 2n \cdot 2^n + 2^n$

$-S = 2 \cdot 2^n + 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n$

$-S = 3 \cdot 2^n - 3 - 2n \cdot 2^n$

$-S = (3 - 2n) 2^n - 3$

$S = (2n-3) 2^n + 3$

3. 最終的な答え

$S = (2n-3)2^n + 3$