二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ が与えられ、これを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させたときの頂点の座標を求める問題に関する対話形式の問題です。特に、関数 $q = p^2 - 3p + 4$ が与えられたとき、二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させた関数の最大値 $M$ の最小値を求め、そのときの $p$ の値を求める問題です。 対話の中で空欄アからカを埋める問題も含まれています。

1. 問題の内容

二次関数 $y = ax^2 + bx + c$ が与えられ、これを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させたときの頂点の座標を求める問題に関する対話形式の問題です。特に、関数 $q = p^2 - 3p + 4$ が与えられたとき、二次関数 $y = ax^2 + bx - p$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させた関数の最大値 $M$ の最小値を求め、そのときの $p$ の値を求める問題です。

対話の中で空欄アからカを埋める問題も含まれています。

2. 解き方の手順

まず、空欄を埋める部分から考えます。

* ア：平方完成すると、頂点の $x$ 座標は $-\frac{b}{2a}$ なので、$x$軸方向に$p$平行移動すると $x - p$ を代入することになるため、$\boxed{x-p}$が入ります。

* イ：$y=a(x-p)^2 + b(x-p) + c$ となります。

* ウ：$y = a(x-p)^2 + b(x-p) + c$ を変形して $a(x-\frac{-b+2ap}{2a})^2 + ...$ となり、$(-\frac{b}{2a} + p, \frac{-b^2+4ac}{4a} + q)$。したがって $\boxed{(p,q)}$

* エ：$y = ax^2 + bx - p$ について、$a < 0$ なので上に凸です。頂点は $(\frac{-b}{2a}, -\frac{b^2}{4a} -p)$

これを、$x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動させたとき、新しい頂点は

$(\frac{-b}{2a} + p, -\frac{b^2}{4a} - p + q)$ になります。 よって $\boxed{-\frac{b^2}{4a} - p + q}$

* オ：$q = p^2 - 3p + 4$ なので、$-\frac{b^2}{4a} - p + q = -\frac{b^2}{4a} - p + p^2 - 3p + 4 = p^2 - 4p + 4 - \frac{b^2}{4a} = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$ となります。

$a<0$ より、$-\frac{b^2}{4a} > 0$。 したがって最小値を考えるには、$p>0$の場合、$p<0$の場合で場合分けする必要はなく、

$a<0$ より、$p\geq 0$の場合のみ考えればいいわけではないので、$\boxed{p<0}$が入ります。

* カ：$q = p^2 - 3p + 4$ に $p=2$ を代入すると $4 - 6 + 4 = 2$

$M = (p-2)^2 - \frac{b^2}{4a}$ の最小値は $-\frac{b^2}{4a}$ なので、$p=2$の時、$M=-\frac{b^2}{4a}$となる。

問題では、$M$ の最小値を求める問題なので、$M=(p-2)^2-\frac{b^2}{4a}$の最小値を求めます。$a < 0$ より $-\frac{b^2}{4a}$ は正なので、$(p-2)^2$ が最小になる時を考えます。$p=2$ の時、$(p-2)^2=0$ となり、$M = -\frac{b^2}{4a}$となります。

$q=p^2 -3p + 4$に$p=2$を代入すると、$q=4-6+4=2$ となります。

3. 最終的な答え

* ア：$x-p$

* イ：$a(x-p)^2 + b(x-p) + c$

* ウ：$(p,q)$

* エ：$-\frac{b^2}{4a} - p + q$

* オ：$p<0$

* カ：$-\frac{b^2}{4a}$

$M$ の最小値: $-\frac{b^2}{4a}$

そのときの $p$ の値: $2$