関数 $y = x\sqrt{1-x^2}$ を微分した $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

関数 $y = x\sqrt{1-x^2}$ を微分した $y'$ を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

まず、$y = uv$ の微分は $y' = u'v + uv'$ です。ここで、$u = x$、$v = \sqrt{1-x^2}$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v = \sqrt{1-x^2} = (1-x^2)^{\frac{1}{2}}$ なので、$v'$ を求めます。

合成関数の微分法により、$v' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

よって、

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{1-x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} = \sqrt{1-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

通分して整理します。

$y' = \frac{(1-x^2) - x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$

選択肢の(2)が正解です。