関数 $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ を微分した結果 $y'$ を選択肢の中から選びなさい。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$ を微分した結果 $y'$ を選択肢の中から選びなさい。

2. 解き方の手順

商の微分公式を使う。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、 $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ である。

この問題では、$u = \cos x$ 、 $v = 1 + \sin x$ なので、

$u' = -\sin x$

$v' = \cos x$

となる。

よって、

$y' = \frac{(-\sin x)(1 + \sin x) - (\cos x)(\cos x)}{(1 + \sin x)^2}$

$= \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2}$

$= \frac{-\sin x - (\sin^2 x + \cos^2 x)}{(1 + \sin x)^2}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ より、

$y' = \frac{-\sin x - 1}{(1 + \sin x)^2}$

$= \frac{-(1 + \sin x)}{(1 + \sin x)^2}$

$= -\frac{1}{1 + \sin x}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{1 + \sin x}$

選択肢 (3) が正解。