$xy$平面上の曲線 $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ 上の点 $P(4,1)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面上の曲線 $y = \frac{2}{\sqrt{x}}$ 上の点 $P(4,1)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、接線の傾きを求めます。

$y = \frac{2}{\sqrt{x}} = 2x^{-\frac{1}{2}}$ より、

$y' = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-\frac{3}{2}} = -x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{x\sqrt{x}}$

次に、点 $P(4,1)$ における接線の傾きを計算します。

$y'(4) = -\frac{1}{4\sqrt{4}} = -\frac{1}{4 \cdot 2} = -\frac{1}{8}$

接線の式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$P(4,1)$ を通るので、$x_1 = 4$, $y_1 = 1$ であり、傾きは $m = -\frac{1}{8}$ です。

$y - 1 = -\frac{1}{8}(x - 4)$

$y = -\frac{1}{8}x + \frac{4}{8} + 1$

$y = -\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} + 1$

$y = -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}$

したがって、解答は次のようになります。

$y = -\frac{1}{8}x + \frac{3}{2}$

[18] = 1

[19] = 8

[20] = 3

[21] = 2