関数 $f(x) = (1 + \cos x) \sin x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における極値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (1 + \cos x) \sin x$ の $0 \le x \le 2\pi$ における極値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の導関数を計算する。

$f'(x) = (1 + \cos x)' \sin x + (1 + \cos x) (\sin x)' = -\sin x \sin x + (1 + \cos x) \cos x = -\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いて、

$f'(x) = \cos x + \cos^2 x - (1 - \cos^2 x) = 2 \cos^2 x + \cos x - 1 = (2 \cos x - 1)(\cos x + 1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$(2 \cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$

$0 \le x \le 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{1}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{5\pi}{3}$ である。

$\cos x = -1$ となる $x$ は $x = \pi$ である。

次に、それぞれの $x$ の値における $f(x)$ の値を計算する。

$f(\frac{\pi}{3}) = (1 + \cos \frac{\pi}{3}) \sin \frac{\pi}{3} = (1 + \frac{1}{2}) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\frac{5\pi}{3}) = (1 + \cos \frac{5\pi}{3}) \sin \frac{5\pi}{3} = (1 + \frac{1}{2}) (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$f(\pi) = (1 + \cos \pi) \sin \pi = (1 - 1) \cdot 0 = 0$

$f'(x)$ の符号を調べることで極大・極小を判定する。

- $0 < x < \frac{\pi}{3}$ のとき $\cos x > \frac{1}{2}$ より $2 \cos x - 1 > 0$ かつ $\cos x > -1$ より $\cos x + 1 > 0$ なので $f'(x) > 0$

- $\frac{\pi}{3} < x < \pi$ のとき $\cos x < \frac{1}{2}$ より $2 \cos x - 1 < 0$ かつ $\cos x > -1$ より $\cos x + 1 > 0$ なので $f'(x) < 0$

- $\pi < x < \frac{5\pi}{3}$ のとき $\cos x < \frac{1}{2}$ より $2 \cos x - 1 < 0$ かつ $\cos x < -1$ (ただし $\cos x \ge -1$)なので $\cos x + 1 < 0$ かつ $\cos x \approx -1$の時$\cos x + 1 \approx 0$なので $f'(x) > 0$

- $\frac{5\pi}{3} < x < 2\pi$ のとき $\cos x > \frac{1}{2}$ より $2 \cos x - 1 > 0$ かつ $\cos x > -1$ より $\cos x + 1 > 0$ なので $f'(x) > 0$

したがって、$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ をとり、$x = \frac{5\pi}{3}$ で極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ をとる。

3. 最終的な答え

$x = \frac{1}{3} \pi$ のとき極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

$x = \frac{5}{3} \pi$ のとき極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$